Si colocamos varios puntos en un plano, ¿cuántos pares pueden estar separados por una distancia de exactamente una unidad?
Esta pregunta, comprensible incluso para un estudiante de secundaria, ha desconcertado a los matemáticos durante casi ochenta años. El matemático húngaro Paul Erdős conjeturó que, al aumentar el número de puntos, la cantidad máxima de estos «pares a distancia unidad» crecería solo un poco más rápido que el número de puntos.
En mayo de 2026, OpenAI anunció un avance: un modelo interno de razonamiento había encontrado una nueva construcción que refutaba esta conjetura ampliamente aceptada. Según los materiales publicados, matemáticos externos revisaron la demostración. El resultado no determinó la respuesta óptima definitiva al problema de las distancias unidad, pero mostró que el patrón de crecimiento que se daba por válido era incorrecto. [1]
El método también resultó sorprendente: el modelo aplicó herramientas profundas de teoría algebraica de números a un problema de geometría plana que parece muy intuitivo.
Por su parte, Google DeepMind presentó en 2026 Aletheia, un agente de investigación matemática que propone, verifica y revisa demostraciones de forma iterativa y participa en investigación profesional. [2]
¿Por qué una IA que antes cometía errores de aritmética elemental empieza a alcanzar la frontera de la investigación matemática? Cinco avances ayudan a entender este cambio.
1. La IA puede seguir aprendiendo de los intentos fallidos
Al entrenar un modelo para escribir, resulta difícil asignar a cada artículo una puntuación única y objetiva. Que un texto sea elegante o una idea profunda depende a menudo del lector y del contexto.
Muchas tareas matemáticas ofrecen señales más claras.
Podemos contrastar un cálculo con su respuesta, comprobar mediante un programa una construcción que debe cumplir ciertas condiciones y verificar con un asistente de demostración una prueba escrita en lenguaje formal.
Esto convierte las matemáticas en un terreno importante para el aprendizaje por refuerzo. El modelo intenta resolver problemas, el sistema le asigna recompensas según el resultado y después ajusta el modelo para favorecer las estrategias eficaces. Con mucha práctica, pueden surgir comportamientos como dividir problemas, comprobar respuestas y cambiar de enfoque.
La investigación sobre DeepSeek-R1 mostró que el aprendizaje por refuerzo basado en resultados verificables puede mejorar considerablemente el razonamiento matemático de un modelo. [3]
Es como ofrecer a un estudiante una sala de práctica siempre abierta: puede seguir resolviendo ejercicios y saber pronto qué intentos han funcionado.
2. La IA puede dedicar más cómputo a resolver un problema
Los problemas matemáticos difíciles rara vez conducen a la respuesta por un camino recto.
Quien haya resuelto problemas de geometría conoce esta experiencia: varias líneas auxiliares no sirven, pero otra construcción desbloquea de pronto la demostración. En investigación sucede lo mismo: probar, atascarse, retroceder y recombinar ideas forma parte del trabajo.
Algunos sistemas de IA empiezan a dedicar más recursos computacionales a estos procesos. Pueden generar varios enfoques candidatos, dividir un problema en subproblemas, comprobar pasos clave y seguir explorando las direcciones prometedoras.
Esto se conoce como aumentar el «cómputo en tiempo de inferencia»: una vez terminado el entrenamiento, el modelo aún puede aumentar sus posibilidades de éxito invirtiendo más cálculo en un problema concreto.
Aletheia genera, verifica y revisa soluciones de forma iterativa, y utiliza herramientas para abordar demostraciones largas y consultas bibliográficas propias de la investigación profesional. [2]
Podemos imaginarlo como recorrer un laberinto: probar varias rutas, recordar los callejones sin salida y concentrarse en las ramas que todavía parecen prometedoras.
3. Los modelos de lenguaje y las herramientas de verificación colaboran en sistemas de agentes
Los grandes modelos de lenguaje destacan al proponer candidatos. Ante un problema, pueden recordar un teorema, una transformación o una construcción auxiliar que merezca la pena probar.
Esa flexibilidad es valiosa, pero el modelo también puede ignorar condiciones, aplicar mal un teorema o tratar como conocido algo que aún no se ha demostrado.
Los sistemas de razonamiento simbólico y los asistentes de demostración pueden encargarse de otra parte del trabajo.
Por ejemplo, AlphaGeometry utiliza un modelo de lenguaje para proponer construcciones geométricas potencialmente útiles y un motor de razonamiento simbólico para deducir sus consecuencias. Así conecta la generación flexible de candidatos con operaciones rigurosas basadas en reglas. [4]
Los asistentes como Lean exigen expresar con precisión las proposiciones y deducciones para que el ordenador compruebe si cada paso respeta las reglas lógicas. AlphaProof utilizó un entorno formal de este tipo para aprender y buscar demostraciones. [5]
Es como acompañar la exploración con un inspector estricto: el modelo puede probar ideas atrevidas mientras el sistema de verificación protege los límites lógicos.
El inspector también tiene un ámbito limitado: puede verificar la demostración de una proposición formal, pero hay que asegurarse de que esa proposición representa fielmente el problema original. La comprensión del lenguaje natural, la formalización y la comprobación de pruebas deben trabajar juntas.
4. La IA puede generar material de práctica para aliviar la escasez de datos de calidad
La humanidad ha acumulado mucho conocimiento matemático, pero el material de alta calidad adecuado para entrenar IA no es ilimitado. Las demostraciones completas, correctas y de dificultad apropiada son especialmente valiosas.
En algunas áreas matemáticas, los programas pueden generar nuevos problemas y construcciones y comprobar sus resultados. Esto permite ampliar el material de entrenamiento.
AlphaGeometry utilizó numerosos ejemplos de entrenamiento geométrico generados mediante programas, lo que redujo su dependencia de demostraciones escritas por personas. [4]
Puede surgir así un ciclo: el sistema genera problemas, el modelo intenta resolverlos, las herramientas seleccionan los resultados correctos y el material válido se utiliza en entrenamientos posteriores.
Este ciclo puede exponer al modelo a más estructuras y métodos. Pero la cantidad es solo un factor. Muchos ejercicios repetitivos o demasiado fáciles quizá no ayuden con problemas nuevos; las soluciones que no se filtran rigurosamente también pueden amplificar los errores.
5. La IA puede intentar conectar distintas áreas de las matemáticas
El conocimiento matemático está muy disperso. Un problema geométrico puede necesitar teoría de números; uno combinatorio puede ocultar una estructura algebraica. Encontrar estas conexiones suele exigir cruzar fronteras entre especialidades.
Aprender a partir de materiales matemáticos diversos proporciona a los grandes modelos de lenguaje una base para establecer conexiones. Con herramientas de búsqueda, también pueden examinar a gran escala posibles enfoques y bibliografía relacionada.
El avance sobre la conjetura de las distancias unidad ilustra el valor de estos métodos: la demostración publicada incorporó herramientas de teoría algebraica de números a la geometría discreta y obtuvo una construcción antes desconocida. [1]
Otro ejemplo procede de una investigación sistemática de la base de datos Erdős Problems. Los investigadores usaron Gemini para examinar 700 problemas marcados como «abiertos». Los avances comunicados incluían tanto soluciones aparentemente nuevas como respuestas antiguas recuperadas de la bibliografía. Los autores también subrayaron la dificultad de determinar la novedad y evitar redescubrir involuntariamente resultados anteriores. [6]
Esto muestra dos aportaciones de la IA matemática: explorar métodos nuevos y ayudar a reorganizar el conocimiento existente. Ambas pueden impulsar la investigación, pero deben distinguirse con claridad.
Reflexiones finales
En estos cinco avances, las ventajas de la IA se concentran en la escala de exploración y la eficiencia de la retroalimentación. Puede probar muchos candidatos en poco tiempo, usar herramientas para comprobar resultados y aprender de éxitos y fracasos durante el entrenamiento. En problemas con conocimiento disperso y muchas rutas posibles, esto puede ampliar el terreno que los investigadores son capaces de explorar.
La fortaleza de la IA consiste en permitir que se prueben más ideas; los matemáticos humanos aportan criterio para decidir qué intentos merecen continuar y qué comprensión se puede extraer de los resultados. Incluso después de demostrar una proposición, quedan muchas preguntas: ¿qué estructura hace funcionar la prueba? ¿Qué condiciones se pueden eliminar? ¿Puede el método explicar otra clase de fenómenos? La intuición de investigación, el conocimiento del contexto teórico y la capacidad de debatir y cuestionar ideas con colegas ayudan a tomar estas decisiones.
Estas ventajas no significan que la creatividad pueda asignarse de manera simple a una de las partes. La IA ya propone construcciones sorprendentes, y los matemáticos también saben calcular, buscar y verificar. El reparto del trabajo cambiará con las herramientas. La comparación más útil se refiere a una investigación concreta: quién puede proponer mejor una dirección, detectar errores, explicar resultados e impulsar el siguiente paso.
Las matemáticas necesitan resultados correctos, pero también comprensibles y generalizables. A medida que la IA amplía la exploración, merecerá la pena observar si las personas y la IA logran transformar estos descubrimientos en conceptos más claros y teorías con mayor poder explicativo.
Referencias
- OpenAI: An OpenAI model has disproved a central conjecture in discrete geometry (2026).
- Feng y colaboradores: Towards Autonomous Mathematics Research (2026).
- DeepSeek-AI: DeepSeek-R1 incentivizes reasoning in LLMs through reinforcement learning (2025).
- Google DeepMind: AlphaGeometry: An Olympiad-level AI system for geometry (2024).
- Google DeepMind: AI achieves silver-medal standard solving International Mathematical Olympiad problems (2024).
- Feng y colaboradores: Semi-Autonomous Mathematics Discovery with Gemini: A Case Study on the Erdős Problems (2026).