在平面上放置一些點，最多能讓多少對點之間的距離恰好等於 1？
這個連中學生都能理解的問題，困擾了數學家近八十年。匈牙利數學家保羅·埃爾德什曾猜測，隨著點的數量增加，這類「單位距離點對」的最大數量，只會比點數成長得稍快一些。
2026 年 5 月，OpenAI 公布了一項突破：一個內部推理模型找到了新的構造，推翻了這個長期受到重視的猜想。根據公布的資料，證明已經過外部數學家檢查。它沒有確定單位距離問題的最終最優答案，卻證明了人們長期相信的成長規律存在錯誤。[1]
令人意外的還有解題方法：模型把代數數論中的深層工具，用到了一個看起來十分直觀的平面幾何問題上。
與此同時，Google DeepMind 在 2026 年公布了數學研究代理 Aletheia，展示了讓 AI 反覆提出、驗證和修改證明，並參與專業數學研究的嘗試。[2]
曾經會在簡單算術中出錯的 AI，為什麼開始觸及數學研究的前沿？理解這場變化，可以從五個面向入手。
一、AI 能從數學問題的失敗中持續學習
訓練一個模型寫文章，很難為每篇文章給出唯一、客觀的分數。語言是否優美、觀點是否深刻，常常取決於讀者和語境。
數學中的許多任務，卻能提供更明確的回饋。
一道計算題，可以核對答案；一個滿足特定條件的構造，可以用程式檢查；一份寫成形式化語言的證明，可以交給證明助理驗證。
這使數學成為強化學習的重要訓練場。模型嘗試解題，系統根據結果給予獎勵，再調整模型，讓有效策略更容易出現。經過大量練習，模型可能逐漸形成拆分問題、檢查答案、改換路線等行為。
DeepSeek-R1 的研究就展示了，利用可驗證結果開展強化學習，可以顯著提升模型的數學推理表現。[3]
這有點像學生獲得了一間隨時開放的練習室：可以不斷做題，並及時知道哪些嘗試成功了。
二、AI 可以把更多算力用在解題過程中
數學難題通常不會沿著一條直線走向答案。
做過幾何題的人都知道，有時連續嘗試幾種輔助線都沒有用，換一個構造，整個證明才突然貫通。數學研究更是如此：嘗試、碰壁、回退和重組，本來就是工作的一部分。
現在，一些 AI 系統也開始把更多計算資源投入這些過程。它們可以產生多個候選思路，把問題拆成若干子問題，檢查關鍵步驟，再繼續探索有希望的方向。
這被稱為增加「推論時計算」：模型訓練完成後，仍然可以透過在一道題上投入更多計算，提高解題成功率。
Aletheia 就採用了反覆產生、驗證和修改解答的工作方式，並結合工具使用，處理專業研究中的長證明和文獻問題。[2]
可以把它想像成走迷宮：先嘗試幾條路線，記下死路，再集中精力探索尚有可能的分支。
三、Agent 系統下，語言模型與驗證工具分工協作
大型語言模型擅長提出候選方案。看到一道題，它可能聯想到某個定理、一種變形，或者一個值得嘗試的輔助構造。
這種靈活性很有價值，但模型也可能忽略條件、誤用定理，甚至把尚未證明的結論當成已知事實。
符號推理系統和證明助理，可以承擔另一部分工作。
例如，AlphaGeometry 讓語言模型提出可能有用的幾何構造，再由符號推理引擎進行推導。這種組合把靈活的候選產生與嚴格的規則運算連接了起來。[4]
Lean 等證明助理則要求把命題和推導寫成精確的形式，由電腦檢查每一步是否符合邏輯規則。AlphaProof 利用了這樣的形式化環境開展學習和證明搜尋。[5]
這相當於給探索過程配上了嚴格的檢查員。模型可以大膽嘗試，驗證系統負責守住邏輯邊界。
檢查員也有自己的工作範圍：它能核驗形式化命題的證明，但仍需確保這個命題準確表達了原本的問題。自然語言理解、形式化轉譯和證明檢查，需要共同發揮作用。
四、AI 可以產生大量練習材料，緩解高品質資料不足
人類累積了大量數學知識，但適合訓練 AI 的高品質材料並不是無限的。完整、正確、難度合適的證明，尤其珍貴。
數學中的一些領域允許透過程式產生新問題和新構造，再檢查結果。這為擴大訓練材料提供了機會。
AlphaGeometry 就使用程式產生了大量幾何訓練樣本，減少了對人工編寫證明的依賴。[4] 由此可以形成一個循環：系統產生問題，模型嘗試求解，工具篩選正確結果，再把合格材料用於後續訓練。
這個循環有機會讓模型接觸更多結構和解法。不過，資料數量只是一個面向。大量重複、過於簡單的題目，未必能幫助模型應對新問題；未經嚴格篩選的解答，還可能放大錯誤。
五、AI 能嘗試連接不同數學領域
數學知識高度分散。一個幾何問題，可能需要數論工具；一個組合問題，可能隱藏著代數結構。找到這些聯繫，往往需要跨越專業邊界。
大型語言模型在廣泛的數學材料中學習，為建立這種聯繫提供了條件。配合搜尋工具，它們還可以大規模檢查候選路線和相關文獻。
單位距離猜想的新進展就展示了跨領域方法的價值：公布的證明把代數數論工具引入離散幾何，得到了此前未被發現的構造。[1]
另一個例子來自對埃爾德什問題資料庫的系統調查。研究者使用 Gemini 檢查了 700 個標記為「開放」的問題。論文報告的進展中，既有看起來具有新意的解答，也有從既有文獻中找回的舊答案；作者同時強調了辨認新穎性和避免無意重複前人成果的困難。[6]
這揭示了數學 AI 的兩種價值：探索新的解法，以及幫助研究者重新組織已有知識。兩者都能推進工作，但需要清楚區分。
寫在最後
回看前面的五個面向，AI 的優勢集中在探索的規模和回饋的效率上。它可以在較短時間內嘗試大量候選方案，呼叫工具檢查結果，並在訓練中利用成功與失敗的回饋改進策略。面對知識分散、路線眾多的數學問題，這種能力有機會擴大研究者能夠探索的範圍。
AI 的長處，是讓更多想法得到嘗試；人類數學家的長處，則體現在判斷哪些嘗試值得繼續，以及從結果中提煉出怎樣的理解。 一個命題即使被證明了，仍然有許多問題需要回答：證明中真正起作用的結構是什麼？哪些條件可以去掉？這個方法能否解釋另一類現象？長期研究形成的直覺、對理論脈絡的掌握，以及與同行討論和質疑的能力，都有助於作出這些判斷。
這種優勢並不意味著創造力可以被簡單分配給某一方。AI 已經能夠提出出人意料的構造，人類數學家同樣擅長計算、搜尋和驗證。兩者的分工會隨著工具進步而變化，更有意義的比較，是在一項具體研究中，誰能更有效地提出方向、發現錯誤、解釋結果，並推動下一步工作。
數學的發展既需要得到正確的結果，也需要讓結果變得可以理解、可以推廣。隨著 AI 擴大探索的範圍，人類與 AI 能否共同把這些發現轉化為更清晰的概念、更有解釋力的理論，將是未來更值得關注的進展。
參考資料
- OpenAI：An OpenAI model has disproved a central conjecture in discrete geometry（2026）。
- Feng 等：Towards Autonomous Mathematics Research（2026）。
- DeepSeek-AI：DeepSeek-R1 incentivizes reasoning in LLMs through reinforcement learning（2025）。
- Google DeepMind：AlphaGeometry: An Olympiad-level AI system for geometry（2024）。
- Google DeepMind：AI achieves silver-medal standard solving International Mathematical Olympiad problems（2024）。
- Feng 等：Semi-Autonomous Mathematics Discovery with Gemini: A Case Study on the Erdős Problems（2026）。