在平面上放置一些点，最多能让多少对点之间的距离恰好等于 1？
这个连中学生都能理解的问题，困扰了数学家近八十年。匈牙利数学家保罗·埃尔德什曾猜测，随着点的数量增加，这类“单位距离点对”的最大数量，只会比点数增长得稍快一些。
2026 年 5 月，OpenAI 公布了一项突破：一个内部推理模型找到了新的构造，推翻了这个长期受到重视的猜想。根据公布的材料，证明已经过外部数学家检查。它没有确定单位距离问题的最终最优答案，却证明了人们长期相信的增长规律存在错误。[1]
令人意外的还有解题方法：模型把代数数论中的深层工具，用到了一个看起来十分直观的平面几何问题上。
与此同时，Google DeepMind 在 2026 年公布了数学研究智能体 Aletheia，展示了让 AI 反复提出、验证和修改证明，并参与专业数学研究的尝试。[2]
曾经会在简单算术中出错的 AI，为什么开始触及数学研究的前沿？理解这场变化，可以从五个方面入手。
一、AI 能从数学问题的失败中持续学习
训练一个模型写文章，很难为每篇文章给出唯一、客观的分数。语言是否优美、观点是否深刻，常常取决于读者和语境。
数学中的许多任务，却能提供更明确的反馈。
一道计算题，可以核对答案；一个满足特定条件的构造，可以用程序检查；一份写成形式化语言的证明，可以交给证明助手验证。
这使数学成为强化学习的重要训练场。模型尝试解题，系统根据结果给予奖励，再调整模型，让有效策略更容易出现。经过大量练习，模型可能逐渐形成拆分问题、检查答案、改换路线等行为。
DeepSeek-R1 的研究就展示了，利用可验证结果开展强化学习，可以显著提升模型的数学推理表现。[3]
这有点像学生获得了一间随时开放的练习室：可以不断做题，并及时知道哪些尝试成功了。
二、AI 可以把更多算力用在解题过程中
数学难题通常不会沿着一条直线走向答案。
做过几何题的人都知道，有时连续尝试几种辅助线都没有用，换一个构造，整个证明才突然贯通。数学研究更是如此：尝试、碰壁、回退和重组，本来就是工作的一部分。
现在，一些 AI 系统也开始把更多计算资源投入这些过程。它们可以生成多个候选思路，把问题拆成若干子问题，检查关键步骤，再继续探索有希望的方向。
这被称为增加“推理时计算”：模型训练完成后，仍然可以通过在一道题上投入更多计算，提高解题成功率。
Aletheia 就采用了反复生成、验证和修改解答的工作方式，并结合工具使用，处理专业研究中的长证明和文献问题。[2]
可以把它想象成走迷宫：先尝试几条路线，记下死路，再集中精力探索尚有可能的分支。
三、Agent 系统下，语言模型与验证工具分工协作
大语言模型擅长提出候选方案。看到一道题，它可能联想到某个定理、一种变形，或者一个值得尝试的辅助构造。
这种灵活性很有价值，但模型也可能忽略条件、误用定理，甚至把尚未证明的结论当成已知事实。
符号推理系统和证明助手，可以承担另一部分工作。
例如，AlphaGeometry 让语言模型提出可能有用的几何构造，再由符号推理引擎进行推导。这种组合把灵活的候选生成与严格的规则运算连接了起来。[4]
Lean 等证明助手则要求把命题和推导写成精确的形式，由计算机检查每一步是否符合逻辑规则。AlphaProof 利用了这样的形式化环境开展学习和证明搜索。[5]
这相当于给探索过程配上了严格的检查员。模型可以大胆尝试，验证系统负责守住逻辑边界。
检查员也有自己的工作范围：它能核验形式化命题的证明，但仍需确保这个命题准确表达了原本的问题。自然语言理解、形式化翻译和证明检查，需要共同发挥作用。
四、AI 可以生成大量练习材料，缓解高质量数据不足
人类积累了大量数学知识，但适合训练 AI 的高质量材料并不是无限的。完整、正确、难度合适的证明，尤其珍贵。
数学中的一些领域允许通过程序生成新问题和新构造，再检查结果。这为扩大训练材料提供了机会。
AlphaGeometry 就使用程序生成了大量几何训练样本，减少了对人工编写证明的依赖。[4] 由此可以形成一个循环：系统生成问题，模型尝试求解，工具筛选正确结果，再把合格材料用于后续训练。
这个循环有机会让模型接触更多结构和解法。不过，数据数量只是一个方面。大量重复、过于简单的题目，未必能帮助模型应对新问题；未经严格筛选的解答，还可能放大错误。
五、AI 能尝试连接不同数学领域
数学知识高度分散。一个几何问题，可能需要数论工具；一个组合问题，可能隐藏着代数结构。找到这些联系，往往需要跨越专业边界。
大语言模型在广泛的数学材料中学习，为建立这种联系提供了条件。配合搜索工具，它们还可以大规模检查候选路线和相关文献。
单位距离猜想的新进展就展示了跨领域方法的价值：公布的证明把代数数论工具引入离散几何，得到了此前未被发现的构造。[1]
另一个例子来自对埃尔德什问题数据库的系统调查。研究者使用 Gemini 检查了 700 个标记为“开放”的问题。论文报告的进展中，既有看起来具有新意的解答，也有从既有文献中找回的旧答案；作者同时强调了辨认新颖性和避免无意重复前人成果的困难。[6]
这揭示了数学 AI 的两种价值：探索新的解法，以及帮助研究者重新组织已有知识。两者都能推进工作，但需要清楚区分。
写在最后
回看前面的五个方面，AI 的优势集中在探索的规模和反馈的效率上。它可以在较短时间内尝试大量候选方案，调用工具检查结果，并在训练中利用成功与失败的反馈改进策略。面对知识分散、路线众多的数学问题，这种能力有机会扩大研究者能够探索的范围。
AI 的长处，是让更多想法得到尝试；人类数学家的长处，则体现在判断哪些尝试值得继续，以及从结果中提炼出怎样的理解。 一个命题即使被证明了，仍然有许多问题需要回答：证明中真正起作用的结构是什么？哪些条件可以去掉？这个方法能否解释另一类现象？长期研究形成的直觉、对理论脉络的把握，以及与同行讨论和质疑的能力，都有助于作出这些判断。
这种优势并不意味着创造力可以被简单分配给某一方。AI 已经能够提出出人意料的构造，人类数学家同样擅长计算、搜索和验证。两者的分工会随着工具进步而变化，更有意义的比较，是在一项具体研究中，谁能更有效地提出方向、发现错误、解释结果，并推动下一步工作。
数学的发展既需要得到正确的结果，也需要让结果变得可以理解、可以推广。随着 AI 扩大探索的范围，人类与 AI 能否共同把这些发现转化为更清晰的概念、更有解释力的理论，将是未来更值得关注的进展。
参考资料
- OpenAI：An OpenAI model has disproved a central conjecture in discrete geometry（2026）。
- Feng 等：Towards Autonomous Mathematics Research（2026）。
- DeepSeek-AI：DeepSeek-R1 incentivizes reasoning in LLMs through reinforcement learning（2025）。
- Google DeepMind：AlphaGeometry: An Olympiad-level AI system for geometry（2024）。
- Google DeepMind：AI achieves silver-medal standard solving International Mathematical Olympiad problems（2024）。
- Feng 等：Semi-Autonomous Mathematics Discovery with Gemini: A Case Study on the Erdős Problems（2026）。