Introduccion
Ultimamente he estado construyendo productos relacionados con AI for Math, no el tipo de herramientas que solo hacen que un gran modelo explique ejercicios, sino sistemas mas centrados en expresion geometrica estructurada, relaciones de restricciones, estructura de diagramas y capacidad de razonamiento.
Cuando trabajas en esto un tiempo, aparece una conclusion clara: no es dificil hacer que la IA hable de matematicas; es muy dificil hacer que realmente haga matematicas.
La geometria es especialmente dificil.
Puedo pedirle a un modelo que explique por que los angulos alternos internos son iguales, pero si le pido que encuentre por si mismo la linea auxiliar clave dentro de un diagrama complejo, empieza a inventar cosas.
Si vuelves a mirar la trayectoria de Google desde esa perspectiva, te das cuenta de que en realidad empezaron a abordar esto de forma sistematica hace bastante tiempo.
AlphaGeometry (AG1) fue la primera generacion.
AlphaGeometry2 (AG2) es la version mejorada.
Si conectas ambas generaciones, se parecen bastante a un registro muy claro de los tropiezos de un sistema de IA matematica.
Escribi este ensayo porque queria subirme a los hombros de Google para observar:
- donde se atascaron
- como lo resolvieron
- que partes son problemas de ingenieria
- que partes son malentendidos cognitivos
1. AlphaGeometry de primera generacion: que resolvio realmente
La idea central de AG1 era en realidad bastante pragmatica: no esperar que un gran modelo demuestre problemas de geometria por si solo, sino hacer que el modelo se encargue de "adivinar", el sistema simbolico de "razonar" y la busqueda de "encontrar".
En concreto:
- el LLM propone construcciones auxiliares
- el motor simbolico DDAR realiza razonamiento de angulos y proporciones
- el sistema de busqueda recorre caminos posibles
La arquitectura en si misma es muy racional. Reconoce que los modelos de lenguaje no son buenos para la deduccion rigurosa, pero si para el reconocimiento de patrones y para generar construcciones potencialmente utiles. La parte real de la demostracion se delega al sistema simbolico.
El componente clave aqui es el motor de razonamiento DDAR.
DDAR significa Deductive Database of Angle and Ratio.
Dicho de forma simple, es un sistema de razonamiento disenado especificamente para geometria.
El sistema mantiene una "base de datos de relaciones geometricas" que se expande continuamente. Al principio solo conoce algunos hechos basicos. Por ejemplo:
A, B y C son colineales
D esta sobre AB
Luego sigue aplicando teoremas geometricos, como:
colinealidad -> el angulo es 180 grados
circulo -> angulos inscritos iguales
triangulos semejantes -> relaciones de proporcion
Cada vez que deduce una nueva relacion, la anade a la base de datos y sigue razonando. Ese proceso continua hasta que obtiene la conclusion objetivo.
En otras palabras, lo que hace DDAR es derivar todas las relaciones geometricas que se puedan derivar.
2. Donde se atasca AG1 (yo tambien me tropece aqui)
AG1 es potente, pero sus problemas tambien son evidentes.
Desde una perspectiva de ingenieria, veo tres cuellos de botella principales.
1️⃣ Capacidad de expresion demasiado debil
El lenguaje geometrico de AG1 es muy limitado. Solo soporta algunas relaciones basicas, por ejemplo:
collinear(A,B,C)
parallel(l1,l2)
perpendicular(l1,l2)
concyclic(A,B,C,D)
equal_angle(...)
Pero muchos problemas IMO necesitan expresar relaciones de distancia, relaciones de proporcion y calculos numericos de angulos, y AG1 no puede expresarlos. Por ejemplo:
AB = CD
AB / CD = EF / GH
∠ABC = 60°
Si el lenguaje no tiene esa capacidad de expresion, el sistema no puede comprender correctamente el problema.
El espacio expresivo que damos a la IA determina que tan complejas son las cosas que puede hacer. Es parecido al lenguaje en la civilizacion humana: cuando un concepto no existe en el lenguaje, resulta dificil comprenderlo de verdad.
AG1 estaba claramente limitado en este punto porque su lenguaje era demasiado estrecho.
2️⃣ La busqueda explota
Una demostracion geometrica consiste, en esencia, en encontrar un camino correcto dentro de un enorme espacio de construcciones posibles.
Por ejemplo: que linea auxiliar hay que trazar, que perpendicular hay que construir, que puntos pueden ser conciclicos.
AG1 sigue un patron de "probar una construccion -> ejecutar razonamiento -> si no funciona, cambiar".
El problema es que existen demasiadas posibilidades de lineas auxiliares, y el sistema se puede quedar atrapado con facilidad en una busqueda local.
3️⃣ El problema de los datos
Uno de los mayores retos de la IA matematica es este: no existe un gran volumen de datos de alta calidad.
La solucion de AG1 fue generar figuras geometricas al azar, generar teoremas automaticamente y generar demostraciones automaticamente.
Pero la complejidad de los problemas generados por la primera generacion seguia siendo limitada, y eso afecta directamente la capacidad de construccion del modelo, haciendo que no pueda resolver problemas realmente complejos.
3. Que mejora AlphaGeometry2
Mucha gente piensa que AG2 mejoro solo porque el modelo base Gemini es mas fuerte.
Sin duda esa es una de las razones, pero creo que las siguientes mejoras son mas importantes.
1️⃣ Expansion del lenguaje
AG2 amplia el DSL geometrico y anade muchos predicados nuevos. Por ejemplo:
dist_eq(A,B,C,D) -> AB = CD
ratio_eq(A,B,C,D,E,F) -> AB/CD = EF
angle_compute(...) -> relaciones numericas de angulos
Despues de ampliar el DSL, la cobertura expresiva de los problemas IMO subio del 66% al 88%.
Dicho de otro modo, en la version anterior la IA muchas veces no fallaba porque no supiera resolver el problema, sino porque ni siquiera podia leerlo bien.
2️⃣ Mejora del metodo de busqueda
AG1 hacia basicamente una busqueda de un solo arbol. AG2 introduce multiples arboles de busqueda + conclusiones intermedias compartidas; se puede entender como varios equipos resolviendo el mismo problema al mismo tiempo.
Eso aumenta de forma notable la probabilidad de encontrar la linea auxiliar clave.
3️⃣ Optimizacion del motor de razonamiento
DDAR se refuerza en AG2: nuevas reglas de razonamiento, compresion del grafo de inferencia y optimizacion de velocidad.
Si el razonamiento es mas rapido, el espacio de busqueda se vuelve mas controlable.
No es una innovacion glamorous, pero es muy importante.
4️⃣ Double points
AG2 tambien incluye un truco geometrico muy interesante llamado double points.
Dicho de forma simple, el sistema puede crear dos "puntos coincidentes" durante el razonamiento. Por ejemplo:
A ≡ A'
Eso significa que A y A' son en realidad el mismo punto, pero dentro del sistema de razonamiento pueden participar en relaciones distintas. Por ejemplo:
A esta sobre la recta l
A' esta sobre el circulo c
Como A = A', al final se puede deducir:
A esta sobre el circulo c
Este truco puede transformar muchos problemas angulares complejos en problemas de conciclicidad, y las relaciones de conciclicidad son mas faciles de manejar para el sistema de razonamiento.
Si has trabajado con geometria olimpica, esta forma de pensar te resultara familiar. AlphaGeometry2 simplemente la sistematiza.
4. Comparacion de resultados
Si miras los resultados finales, la mejora de AG2 es muy evidente.
En el informe oficial de DeepMind, evaluaron todos los problemas de geometria de la IMO de los ultimos 25 anos (2000-2024).
| Sistema | Tasa de resolucion |
|---|---|
| AlphaGeometry (AG1) | 54% |
| AlphaGeometry2 (AG2) | 84% |
En el mismo conjunto de problemas, AG2 mejoro la capacidad de resolucion en 30 puntos porcentuales.
El equipo de investigacion de DeepMind tambien dio una comparacion muy interesante:
Una puntuacion de 42/50 ya supera el nivel promedio de un medallista de oro de la IMO.
Otro indicador importante es la cobertura de problemas.
Muchos problemas geometricos ni siquiera podian representarse en AG1, porque el lenguaje era demasiado estrecho.
Despues de ampliar el DSL en AG2:
| Indicador | AG1 | AG2 |
|---|---|---|
| Cobertura expresiva de problemas IMO | 66% | 88% |
En cuanto el lenguaje se amplia, la capacidad del sistema sube inmediatamente a otro nivel.
DeepMind tambien menciono en su blog oficial que, en el entorno de prueba de la IMO 2024, AG2 resolvio un problema de competicion en solo 19 segundos despues de la formalizacion, y obtuvo una puntuacion global de 28/42, cerca de la linea de medalla de oro.
5. Reflexion final
AlphaGeometry2 demuestra una cosa:
Dentro de un sistema estructurado, la IA puede llegar a ser muy fuerte.
Si esperas que un LLM puro demuestre directamente problemas geometricos de la IMO, no creo que eso sea realista en los proximos anos.
Pero LLM + lenguaje de dominio + motor simbolico + sistema de busqueda es una direccion muy solida.
Mirar por un momento desde los hombros de los gigantes puede ahorrarte muchos rodeos.
Si los sistemas matematicos de IA siguen evolucionando en los proximos anos, mi apuesta es que las palabras clave seran:
- estructuras mas fuertes
- un lenguaje mas razonable
- una busqueda mas fina
Eso puede ser mucho mas importante de lo que imaginamos.